为什幺保温瓶要抽真空?

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保温杯的主要功能,顾名思义,就是将瓶中的承装物体维持在一定的温度,也就是尽量避免保温瓶中的物体和外界产生热平衡的热量交换现象。

想要达到恆温的效果,就要尽量避免瓶中的物体与外界进行热量的交换。热的传播途径有三种,分别是对流、传导及辐射,而将保温瓶内外双层抽真空,主要是要阻绝热量藉由传导的方式和外界进行交换。以下就是要说明,究竟我们是如何藉由抽真空来阻绝热量藉由传导作用而散失。

首先我们先架构一个模型,将保温瓶真空层部分的空气垂直的切割成一层一层,假设每一层的空气分子具有的温度相同,也就是同一层分子中的每个分子具有的动能相同,如下图(一)。

为什幺保温瓶要抽真空?

图一$$~~~$$将保温瓶的真空层以简单的模型分析。箭头长短代表分层气体分子中具有的能量大小,$$W$$ 为夹层宽度,$$x$$ 为由内部指向外部的横向长度。(本文作者绘)

以箭头长度表示该层空气能量高低,假设 $$W$$ 为夹层宽度;$$C$$ 为夹层中气体热容量;$$T$$ 为气体温度;$$x$$ 为由内部指向外部的横向长度;$$\rho$$ 为气体分子的分子数密度;$$l$$ 为气体在该温压下的平均自由径(注一);$$v$$ 为气体在 $$x$$ 方向的速度;$$\rho$$ 为分子碰撞截面积。

我们假设一层一层气体之间的热通量(单位面积单位时间内所通过的热量)为 $$H$$,因为热传正比于温度梯度,故可列出:

$$H=\displaystyle K\frac{\partial (T)}{\partial x}$$ (式一),$$K$$:热传导係数

我们也可以将热通量以各变数表示,即:

$$H=(\displaystyle\frac{\partial(CT)}{\partial x}\times l)\rho(v\times \Delta t)A/(A\times \Delta t)$$

$$(\frac{\partial(CT)}{\partial x}\times l)$$ 为单一分子移动一个平均自由径后所传递的热能,$$(\rho(v\times \Delta t)A)$$ 为面积 $$A$$ 乘上分子速度 $$v$$ 走过时间 $$\Delta t$$ 所形成的体积,乘上密度即为此体积所包含的所有分子数量,最后除以面积及时间是为了计算单位时间及单位面积的通量,消去可得:

$$H=(\frac{\partial(CT)}{\partial x}\times l)\times \rho \times v=(C\times l\times \rho \times v)\times \frac{\partial (T)}{\partial x}$$ (式二)

由式一和式二比较可得:$$K=C\times l\times \rho\times v=C\times v/\rho$$(注二)

经由以上计算,我们很惊讶地发现:热传导係数 $$K$$ 竟然与气体的密度 $$\rho$$ 无关!既然如此,那把夹层中的气体抽真空似乎就没有意义了!这是怎幺一回事呢?

这个谜团的解答在于:如果我们将夹层抽得「很真空」,那幺以上的估算方式便得修正,而修正后的答案是:热传导係数 $$K$$ 在气体很稀薄时其实是与气体的密度 $$\rho$$ 成正比,所以抽真空对于隔热真的有好处!以下是更仔细的说明。

当夹层的宽度 $$W$$ 小于气体的平均自由径时,平均而言,气体分子自内壁跑到外壁前不再有机会与别的气体分子碰撞,所以它会直接将多余的热量丢给外壁,所以计算热通量的公式就要改写,变成:

$$H=(\frac{\partial(CT)}{\partial x}\times W)\rho(v\times \Delta t)A/(A\times \Delta t)=(C\times W\times \rho\times v)\times \frac{\partial (T)}{\partial x}$$(式三)

由式三与式一比较可得:$$K=C\times W\times\rho\times{v}$$

此时若其他变数固定,则 $$K\propto \rho$$!!

这个改变主要的关键就是要让夹层的宽度小于分子的平均自由径,只要宽度小于平均自由径,热传导係数就会随着密度的减小而降低,而平均自由径和气体压力成反比,随着将气压降低、平均自由半径上升到一个临界点,也就是开始大于夹层宽度时,热传导係数就会开始随压力下降而下降。可见图二。

为什幺保温瓶要抽真空?

图二$$~~~$$热传导係数与夹层中气体密度的关係。(本文作者绘)

故我们要尽量将夹层中抽真空,以有效减少夹层中气体的导热係数。

注一:气体的平均自由径 (Mean free path)指的是气体分子在两次碰撞之间所经过的路程统计平均值。假设 $$v$$ 为气体平均速度;$$\rho$$ 为气体分子的分子数密度;$$\sigma$$ 为分子碰撞截面。假设为同种气体分子时,其平均自由半径 $$l=\frac{1}{\sqrt{2}\rho\sigma}$$,应用理想气体方程式,可推得 $$l=\frac{K_BT}{\sigma p}$$,其中 $$p$$ 为气体压力,$$K_B$$ 为波兹曼常数。

例如,在 $$20^\circ C$$ 下、标準大气压($$101~KPa$$)下,氮气分子的平均自由径约为 $$60$$ 奈米。

注二:$$(l\times \rho = 1/\sigma)\rightarrow$$分子碰撞截面与平均自由径形成的空间内包含一个分子。


参考文献

维基百科,平均自由径http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E5%9D%87%E8%87%AA%E7%94%B1%E7%A8%8B